Question

设｛an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并对所有正整数n，an与1的等差中项等于

Sn与1的等比中项，则｛an｝的前三项是

Answer 1

由已知an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项得
(an +1)/2=√Sn
Sn=(an +1)²/4
n=1时，S1=a1=(a1+1)²/4，整理，得
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，
Sn=(an+1)²/4 Sn-1=[a(n-1)+1]²/4
Sn-Sn-1=an=(an+1)²/4 -[a(n-1)+1]²/4
(an-1)²=[a(n-1)+1]²
an -1=a(n-1)+1或an -1=-a(n-1)-1(an=-a(n-1)，数列各项均为正，舍去)
an=a(n-1)+2
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
an=1+2(n-1)=2n-1
a1=1 a2=2×2-1=3 a3=2×3-1=5