Question

如图，AB是圆O的弦，CD是圆O的直径，AB⊥CD，过点D作直线交BA的延长线于E，

交圆O于点M，点M为弧BC上任意一点，连接DN交AB于F.
（1）已知DM=根号2，cos角BED=4/5，求圆O的直径；
（2）求证：DN·DF=DE·MD.

Answer 1

（1）解：连结CM。
因为 CD是圆O的直径，
所以 角CMD=90度，
因为 AB垂直于CD于H，
所以 角EHD=90度，
又因为 角EDC是公共角，
所以 三角形CDM相似于三角形EDH，
所以 角MCD=角BED，
因为 cos角BED=4/5，
所以 sin角BED=3/5，
所以 DM/CD=sin角MCD=sin角BED=3/5，
因为 DM=根号2，
所以 CD=（5根号2）/3。即：圆O的直径为（5根号2）/3。
（2）证明：连结NC，
因为 CD是圆O的直径，AB垂直于CD于H，
所以 角CND=角FHD=90度，
又 角CDN是公共角，
所以 三角形CDN相似于三角形FDH，
所以 DF/CD=DH/DN，
所以 DN*DF=CD*DH，
因为 三角形CDM相似于三角开EDH，（已证）
所以 DM/DH=CD/DE，
所以 DE*DM=CD/DH，
所以 DN*DF=DE*DM。