Question

如图,在梯形ABCD中,AB平行CD,E是BC的中点,EF⊥AD于F,求证:S梯形ABCD=AD*EF

Answer 1

取AD的中点G , 作BH垂直CD于H点，作线段BI平行于AD交CD于I点。
因为EF垂直于AD， BH垂直CD
所以 角EFG=角BHI=90度
又因为G,E点分别是AD,BC之中点，所以GE是梯形ABCD的中位线，所以GE平行于DC
所以 角EGF=角D
又因为BI平行于AD
所以 角D=角BIH
所以 角EGF=角BIH 加上 角EFG=角BHI
可得三角形EFG相似于三角形BHI
所以 EF/BH=EG/BI
所以 BI*EF=EG*BH
又因为EG=(AB+CD)/2 所以S梯形ABCD=BH*(AB+CD)/2=BH*EG
由于AB平行于DI,BI平行于AD 所以ABID为平行四边形 AD=BI 因此 AD*EF=EG*BH
所以 S梯形ABCD=AD*EF