Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=AC,过点B作射线BP分别交AD、AC于点E、F，与过点C且平行于AB的直线交于

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=AC,过点B作射线BP分别交AD、AC于点E、F，与过点C且平行于AB的直线交于点P。试说明EB²=EF·EP

Answer 1

连接CE并延长

∵ AB=AC  AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD

∴△BAE≌△CAE

∴BE=CE   ∠ABE=∠ACE

又AB∥CP

∴∠BAC=∠ACP

又∠BFC=∠BAC+∠ABE

∴∠BFC=∠ACP+∠ACE=∠ECP

∴△EFC∽△ECP

∴EF/EC=EC/EP

即 EC²=EF·EP

又EC=EB

∴EB²=EF·EP

证毕

Answer 2

首先过C点作AD的平行线交BP于Q，如图（图片画得略挫，看得懂就行了）

由于AB=AC，所以BD=CD，所以BE=EQ（这个很显然，我就不证明了）

显然，△AEF相似于△CQF，所以AF/CF=EF/FQ

△ABF相似于△CPF，所以AF/FC=BF/FP

所以，EF/FQ=BF/FP，∴EF·FP=BF·FQ

FQ=EQ-EF=BE-EF；BF=BE+EF；所以上式可写成EF·FP=(BE+EF)·(BE-EF)=BE²-EF²

∴BE²=EF²+EF·FP=EF·(EF+FP)=EF·EP；

得证。