Question

设函数f(x)=1/ln(x+1) - 1/x (1)当x>0时,求证:f(x)<1/2 （2）f(x）为减函数

Answer 1

1、要证f(x)<1/2，也就是要证1/ln(1+x)-1/x<1/2，也就是要证1/(ln(1+x)<1/x+1/2=(x+2)/2x
也就是要证ln(1+x)-2x/(x+2)>0
令g(x)=ln(1+x)-2x/(x+2)
g'(x)=1/(1+x)-4/(x+2)^2=x^2/(1+x)(x+2)^2>0
所以g(x)递增，那么g(x)>g(0)=0
也就得证
2、要证f(x)减函数，就是要证f'(x)=1/x^2-1/ln(1+x)^2*(1+x)<0
就是要证[ln(1+x)]^2-x^2/(1+x)<0
令h(x)=[ln(1+x)]^2-x^2/(1+x)
h'(x)=2ln(1+x)/(1+x)-(2x+x^2)/(1+x)^2=1/(1+x)*[2ln(1+x)-(2x+x^2)/(1+x)]
令k(x)=2ln(1+x)-(2x+x^2)/(1+x)
k'(x)=-x^2/(1+x)^2<0
所以k(x)递减 k(x)<k(0)=0
也就是h'(x)<0 h(x)递减 h(x)<h(0)=0
也就是f'(x)<=0 f(x)递减

我的经验就是对于不好求导的，如第一问，转换成好求导的式子g(x)
还有就是对于不好分清导数的正负的继续求导，但是期间要将它适当调整，使得求导后简单。如第二问的h(x) k(x)

Answer 2

此题宜先证明第（2）问：f(x）为减函数
f'(x）= -1/[(x+1)·ln²(x+1)] +1/x²
=[(x+1)·ln²(x+1) - x²]/[x²·(x+1)·ln²(x+1)]
当x>0时,分母恒为正。只须考察分子。
令ψ(x)=(x+1)·ln²(x+1) - x²，
lim(x→0+)ψ(x)=0,
而ψ'(x)=ln²(x+1) + 2(x+1)·ln(x+1)·[1/(x+1)] - 2x
=ln²(x+1) + 2ln(x+1) - 2x
则lim(x→0+)ψ'(x)=0,
而ψ''(x)=[2ln(x+1) + 2]/(x+1) -2
=2[ln(x+1) - x]/(x+1)
令η(x)=ln(x+1) - x,【*这个函数后面还会用到】
则lim(x→0+)η(x)=0
而η‘(x)= 1/(x+1) - 1 ，当x>0时，x+1>1，则η‘(x)<0
→当x>0时，η(x)<0；
→当x>0时，ψ''(x)<0；
→当x>0时，ψ'(x)<0；
→当x>0时，ψ(x)<0；
→当x>0时，f'(x)<0；
因此当x>0时,f(x）为减函数

从而，第(1)问迎刃而解：
lim(x→0+)f(x)= lim(x→0+) [x-ln(x+1)]/[x·ln(x+1)]
=lim(x→0+) -η(x) /x² 【当x→0+时，ln(x+1)是x的等价无穷小】
=lim(x→0+) -η’(x) /(2x)【洛比达法则】
=lim(x→0+) -η’‘(x) /2【还是0/0型，再用洛比达法则】
=lim(x→0+) 1/[2(x+1)² ]
=1/2
当x→0+时，f(x)的极限是 1/2。而当x>0时,f(x）为减函数，
因此f(x)<1/2

Answer 3

f'(x) = -1/(ln(x+1))^2 * 1/(x+1) + 1/x^2
f(x) = [x - ln(x+1)]/[xln(x+1])
limit f(x) = 1/2 when x -> 0
f'(x) < 0 when x > 0

追问

limit f(x) = 1/2 when x -> 0
f'(x) 0
高中没学过。。用高中知识回答