Question

已知正四面体A-BCD的棱长为a（四个面都是全等的正三角形）,E、F分别为棱BC、AD的中点。 求：EF和AB所成角

Answer 1

取AC的中点为M。
利用赋值法，令A－BCD的棱长为2。
∵△ACD是正三角形、AF＝DF＝1，∴CF⊥DF，∴CF＝√3DF＝√3。
∵△ABD是正三角形、AF＝DF＝1，∴BF⊥DF，∴BF＝√3DF＝√3。
∵BF＝CF＝√3、BE＝CE＝1，∴EF⊥BC，∴EF＝√（BF^2－BE^2）＝√（3－1）＝√2。

∵E、M分别是BC、AC的中点，∴ME＝AB/2＝1。
∵F、M分别是AD、AC的中点，∴MF＝CD/2＝1。
由ME＝MF＝1、EF＝√2，得：ME^2＋MF^2＝EF^2，∴由勾股定理的逆定理，有：ME⊥MF。
由ME⊥MF、ME＝MF，得：∠MEF＝45°。

∵E、M分别是BC、AC的中点，∴AB∥ME，∴∠MEF＝AB与EF所成的角。
∴AB与EF所成的角为45°。