已知函数f(x)=x²+bx+2.若当x∈[-1,4]时,f(x)≥b+3恒成立,求f(x)
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f(1)=1+b+2=b+3
即在x∈[-1,4],f(x)≥f(1)恒成立
设g(x)=f(x)-f(1)=x²+bx-b-1 且x∈[-1,4]
题目转化为 函数y=g(x)在x∈[-1,4]上恒大于等于0
也就是抛物线的最小值等于0
y=g(x)=(x-b/2)²-b²/4-b-1的最小值只可能是-b²/4-b-1,或者在x=-1和x=4是取得
即-b²/4-b-1=0 或者 g(-1)=-2b=0 或者 g(4)=3b+15=0
b=-2 或者 b=0 或者 b=-5
验证b=-2成立
所以f(x)=x²-2x+2
即在x∈[-1,4],f(x)≥f(1)恒成立
设g(x)=f(x)-f(1)=x²+bx-b-1 且x∈[-1,4]
题目转化为 函数y=g(x)在x∈[-1,4]上恒大于等于0
也就是抛物线的最小值等于0
y=g(x)=(x-b/2)²-b²/4-b-1的最小值只可能是-b²/4-b-1,或者在x=-1和x=4是取得
即-b²/4-b-1=0 或者 g(-1)=-2b=0 或者 g(4)=3b+15=0
b=-2 或者 b=0 或者 b=-5
验证b=-2成立
所以f(x)=x²-2x+2
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f(x)=x²-2x+2 (b=-2)
用分类讨论对称轴的思想来看最小值的分布,并且与所给的条件作比较,最后得出b的值
f(x)=x²+bx+2=f(x)=(x+b/2)²+2-b²/4
此二次函数开口向上,对称轴为x=-b/2,顶点为(-b/2,2-b²/4)
1、若对称轴小于等于-1
-b/2≤-1 (即b≥2)时,
f(x)最小值为f(-1),
必须有f(-1)=1-b+2≥b+3,得到b≤0 (不符,舍弃)
2、若对称轴在区间[-1,4]内,(-8<b<2)
f(x)最小值为其顶点
即2-b²/4≥b+3
得到(b+2)²≤0,b=-2 (符合)
3、若对称轴大于等于4
即b≤-8时,
f(x)最小值为f(4)=16+4b+2≥b+3
得到b≥-5(不符,舍弃)
综上得到b=-2
f(x)=x²-2x+2
用分类讨论对称轴的思想来看最小值的分布,并且与所给的条件作比较,最后得出b的值
f(x)=x²+bx+2=f(x)=(x+b/2)²+2-b²/4
此二次函数开口向上,对称轴为x=-b/2,顶点为(-b/2,2-b²/4)
1、若对称轴小于等于-1
-b/2≤-1 (即b≥2)时,
f(x)最小值为f(-1),
必须有f(-1)=1-b+2≥b+3,得到b≤0 (不符,舍弃)
2、若对称轴在区间[-1,4]内,(-8<b<2)
f(x)最小值为其顶点
即2-b²/4≥b+3
得到(b+2)²≤0,b=-2 (符合)
3、若对称轴大于等于4
即b≤-8时,
f(x)最小值为f(4)=16+4b+2≥b+3
得到b≥-5(不符,舍弃)
综上得到b=-2
f(x)=x²-2x+2
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