Question

利用间接法将函数展开成幂级数的疑问

利用间接法将函数展开成幂级数时，2-x , x*2, (2-x)/2都可以代替公式中的那个x,从而带进公式中，但为什么x+√(x^2+1)-不可以直接替换x带进公式哪？

Answer 1

幂级数展开的目的就是将不好计算的函数展成多项式的形式有利于计算
像计算机计算sinx，就是利用sinx=x-x^3/3!+……这样来计算的。
所谓的幂级数是
a0+a1(x-c)+a1(x-c)^2……的形式的
幂次是非负整数的形式
你用x+√(x^2+1)代替，最后展开的不叫幂级数了，x的次数不是非负整数
对于计算来说，你这样的展开没有实际用途

追问

那请问1/(x-2)^2展开成幂级数时能不能看做1/1+[(x-2)^2-1],用[(x-2)^2-1]直接替换公式中的x，这样的话幂次不存在非负整数

追答

个人觉得这样是可以的

Answer 2

2-x , x*2, (2-x)/2是多项式函数，它们的幂级数等于自身，无非是改写成在哪点的展开式形式而已。
但 x+√(x^2+1) 在不同点展开，必须结合已知公式做调整。

追问

你的意思是 x+√(x^2+1) 不符合多项式函数的形式吗？那如果是x+x^2+1的话能不能直接替换x带进公式哪？

追答

x+x^2+1
=a(x-x0)²+b(x-x0)+c
根据具体的x0值，就可以得出系数a,b,c

追问

那请问1/(x-2)^2展开成幂级数时能不能看做1/1+[(x-2)^2-1],用[(x-2)^2-1]直接替换公式中的x，这样的话幂次不存在非负整数

追答

这样的话就是在x=2处展开，即x-2的幂级数，这是没问题的；
在其它点则要再变形。