Question

求数学高手指教！

我们知道|X|的几何意义：在数轴上，X所代表的点与原点之间的距离

在线段P1Pn上有n个点P,1,P2，P3……Pn， 能否在线段P1Pn上找到一点P，使P到P1，P2，P3……Pn的距离的和最小

在平面几何上有这么一个结论：当n为奇数，即n=2k-1时，那么着n个点的最中间的点也就是Pk满足题意

当n为偶数，即n=2k时，那么这n个点的最中间的两个点，即点P取点Pk和点Pk+1 之间的任意一个点（包含点Pk和点Pk+1）都满足题意

求：|X|+|X-1|+|X-2|+……+|X-19|的最小值

求|X-1|+|X-7|+|2X-1|+2X-3|+|-X+2|的最小值

第二题答案是100 求过程

Answer 1

当X=9.5时，|X|+|X-1|+|X-2|+……+|X-19|取最小值
此时最小值=9.5+8.5+...+1.5+0.5+0.5+1.5+...8.5+9.5=2*（0.5+1.5+...8.5+9.5）=1+3+...+17+19=（1+19）*10/2=100
至于|X-1|+|X-7|+|2X-1|+2X-3|+|-X+2|的最小值，显然X取值肯定在1到7之间，那么|X-1|+|X-7|=7，对于|2X-1|+2X-3|+|-X+2|，显然它在[1/2,2/3]上递减，[2/3,2]上递增，故当X=2/3时最小，所以|X-1|+|X-7|+|2X-1|+2X-3|+|-X+2|的最小值为9.5

Answer 2

根据题目所述，当X=9.5时，|X|+|X-1|+|X-2|+……+|X-19|取最小值
此时最小值=9.5+8.5+...+1.5+0.5+0.5+1.5+...8.5+9.5=2*（0.5+1.5+...8.5+9.5）=1+3+...+17+19=（1+19）*10/2=100
至于|X-1|+|X-7|+|2X-1|+2X-3|+|-X+2|的最小值，显然X取值肯定在1到7之间，那么|X-1|+|X-7|=7，对于|2X-1|+2X-3|+|-X+2|，显然它在[1/2,2/3]上递减，[2/3,2]上递增，故当X=2/3时最小，所以|X-1|+|X-7|+|2X-1|+2X-3|+|-X+2|的最小值为9.5
祝你好运，谢谢！！

Answer 3

第二题答案不是100，而是第一题答案为100。

第一题：|X|+|X-1|+|X-2|+……+|X-19|共有20个点，是偶数点，所以，x取中间的两个点，位于10和11位置，值为9或10，当x取9到10时，值为最小，最小值为10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=10+9*（9+1）=100。

第二题：把|X-1|+|X-7|+|2X-1|+2X-3|+|-X+2排序一下|并进行适当变形：2|X-1/2|+|X-1|+2|X-3/2|+|X-2|+|X-7|，这样就有2+1+2+1+1=7个点。最小值在第4个点上，即x=3/2时，整个表达式最小，最小值=8.5。