Question

已知数列An的前n项和为Sn，且Sn=n2，数列Bn为等比数列，且b1=1，b4=8，求数列An，Bn的通项公式，若数列...

已知数列An的前n项和为Sn，且Sn=n2，数列Bn为等比数列，且b1=1，b4=8，求数列An，Bn的通项公式，若数列Cn满足Cn=Abn，求数列Cn的前N项和Tn

Answer 1

解答，数列An=Sn-S(n-1)=n2-(n-1)2=2n-1
数列Bn：b4=b1*q^3
q^3=8
q=2
所以：Bn=a1q^(n-1)=2^(n-1)
cn=AnBn
=(2n-1)*2^(n-1)
=n*2^n-2^(n-1)
Tn=1*2^1+2^2^2+3*2^3+4*2^4+.....+n*2^n-[2^0+2^1+2^2+2^3+....+2^(n-1)]
2Tn= 1*2^2+2^2^3+3*2^4+.....+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)-1*(1-2^n)/(1-2)
Tn-2Tn=-Tn=2^1+2^2+2^3+2^4+....+2^n-n*2^(n+1)+(2^n-1)
=2(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)+2^n-1
=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)+2^n-1
=-[(n-1)*2^(n+1)-2^n+3]
=-[(2n-2-1)*2^n+3]
=-[(2n-3)*2^n+3]
所以：Tn=(2n-3)2^n+3

Answer 2

S1=a1=1^2=1
n≥2时，
Sn=n^2 S(n-1)=(n-1)^2
Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1
n=1时，a1=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n-1
b4/b1=q^3=8/1=8 q=2
bn=b1q^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=2^(n-1)
cn=anbn=(2n-1)2^(n-1)=n×2^n -2^(n-1)
Tn=c1+c2+...+cn=(1×2^1+2×2^2+...+n×2^n) -[2^0+2^1+...+2^(n-1)]
令Sn=1×2^1+2×2^2+...+n×2^n
则2Sn=1×2^2+2×2^3+...+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2^1+2^2+...+2^n-n×2^(n+1)
=2(2^n -1)/(2-1) -n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1) -2
Sn=(n-1)×2^(n-1) +2
Tn=Sn-[2^0+2^1+...+2^(n-1)]
=(n-1)×2^(n+1) +2 -1×(2^n -1)/(2-1)
=(n-1)×2^(n+1) +2-2^n +1
=(2n-3)×2^n +3

Answer 3

过程：An=Sn-Sn-1=n^2-(n-1)^2=2*n-1
至于Bn,由于B1=1，B4=8，且Bn为等比数列，设公比为q，则B1q^3=B4，所以q=2，即
Bn=2^(n-1)
而Cn=AnBn=（2*n-1）*2^(n-1)=n*2^n-2^(n-1)
所以Tn=(2+2*2^2+3*2^3+..............+n*2^n)-(1+2+2^2+........+2^(n-1))
令Qn=2+2*2^2+3*2^3+..............+n*2^n
则2Qn=2^2+2*2^3+3*2^4+..............+n*2^(n+1)
所以Qn=n*2^(n+1)-(2+2^2+2^3+.........+2^n)
所以Tn=n*2^(n+1)-(2+2^2+2^3+.........+2^n)-(1+2+2^2+........+2^(n-1))=(2n-3)*2^n+3

Answer 4

解答见图