Question

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；
1）求点E的坐标及折痕DB的长；
（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，
求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标。

Answer 1

解：1，由题意，△BCD≌△BED，BE=BC=OA=10，∴在Rt△EAB中BE=10，AB=8，由勾股定理得AE=6，∴OE=4，即E（4,0）。又因为∠DEB是直角，∠DEO=∠ABE，∴Rt△DEO∽Rt△EBA，∴OD/AE=OE/AB,∴OD=3，在Rt△ODE中，OD=3，OE=4，所以DE=5 .所以在Rt△BDE中，BE=10，DE=5，BD=5根5. ，2，设M（x，0），则N（x+2.5,0)，若DM+BN最小，则四边形BDMN周长最小，由此得DM²=x²+9，BN²=x²-15x+225/4+64，DM²+BN²=2x²-15x+445/4，所以当x=15/4时DM²+BN²有最小值。所以M(15/4,0),N（8.25,0）。

Answer 2

解：按要求画出图形，标出O,A,B,C的坐标。
（1）画出D、E点，设D为（0，y）,E为（x，0），既是对折，就有BA=BD, 用两点间的距离公式解出y值，AE=BD,同样方式解出x值，E点坐标就有了，在算处BD的长即可。
（2）在OA上标出M、N点，设M为（z,0）,那么N为（z+4.5,0），再算出四个边的距离之和，使和值最小时，z的值，这样M、N的坐标就出来了。