Question

椭圆x^2/16+y^2/4=1有两点P、Q.O是原点,若OP、OQ斜率乘积为-1/4.求线段PQ中点的轨迹方程

Answer 1

设P(x1 ，y1)Q(x2 ，y2)中点M(x0，y0)则x1 + x2 = 2x0 ，y1 + y2 = 2y0 ，将P、Q坐标代入椭圆方程并相减可得：(x1)^2 - (x2)^2 = -4[(y1)^2 - (y2)^2]
即：[(y1 - y2)/(x1 - x2)]·[(y1 + y2)/(x1 + x2)] = -1/4
当PQ斜率存在时，可设直线斜率为k ，则k = [(y1 - y2)/(x1 - x2)]
∴k·(y0/x0) = -1/4 ，k = -x0/4y0 ，直线PQ可表示为：y - y0 = (-x0/4y0)(x - x0)
y·4y0 = 4(y0)^2 + (x0)^2 - x·x0 ，记t = 4(y0)^2 + (x0)^2 ，则y·4y0 = t - x·x0
联立直线与椭圆方程：
[(t - y·4y0)^2/(x0)^2] + 4y^2 = 16
或者：x^2 + [(t - x·x0)^2/4(y0)^2] = 16
根据韦达定理：
y1y2 = {[t^2/(x0)^2] - 16}/{[16(y0)^2/(x0)^2] + 4} = [t^2 - 16(x0)^2]/[16(y0)^2 + 4(x0)^2]
x1x2 = {[t^2/4(y0)^2] - 16}/{[(x0)^2/4(y0)^2] + 1} = [t^2 - 64(y0)^2]/[(x0)^2 + 4(y0)^2]
∵OP、OQ斜率乘积 = -1/4 = (y1/x1)·(y2/x2) = (y1y2)/(x1x2)
∴-1/4 = [t^2 - 16(x0)^2]/{4[t^2 - 64(y0)^2]}
∴t^2 - 8(x0)^2 - 32(y0)^2 = 0 ，代入t = 4(y0)^2 + (x0)^2 得：t^2 - 8t = 0 ，t = 0或8
但当t = 0时，意味着PQ的中点M与坐标原点重合，使得k(OP) = k(OQ) ，
显然不满足“OP、OQ斜率乘积为-1/4” ，∴t = 8 = 4(y0)^2 + (x0)^2
整理得：[(x0)^2/8] + [(y0)^2/2] = 1......A式
当PQ斜率k不存在时，有PQ⊥x轴 ，使得M必定在x轴上∴OP、OQ斜率绝对值相等 ，易得分别为1/2和-1/2 ，易知2直线分别为x = 2y和x = -2y ，
∴联立椭圆方程可求得P、Q的坐标，并可以进一步求得M坐标为 (-2√2 ，0)或(2√2 ，0) ，它们均满足A式
∴PQ中点的轨迹方程为：(x^2/8) + (y^2/2) = 1

Answer 2

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，分别代入椭圆方程，将得到的两个方程相减，得(x1-x2)(x1+x2)/16+(y1-y2)(y1+y2)/4=0
设PQ中点(m,n)，则x1+x2=2m，y1+y2=2n，直线PQ的斜率为-m/4n，所以直线PQ的点斜式方程就出来了。联立直线与椭圆方程，可以求出x1*x2，进而得到y1*y2。这样通过斜率乘积-1/4，就可以得出m和n的关系。
以上结果是心算的，需要你自己仔细再算算。