Question

初二数学难题一道

如图，F为三角形BED的边BD上一点，过点B做BA平行与EF叫DE的延长线与点A，过点D作DC平行于EF交BE的延长线于点C。
①求证;1/AB+1/CD=1/EF
②请找出；S三角形ABD，S三角形BED，S三角形BDC之间的关系，并给出证明。（S是面积的意思）
如图所示

Answer 1

（1）证明：因为EF平行AB
所以EF/AB=FC/BC
因为EF平行DC
所以EF/CD=BF/BC
所以EF/AB+EF/CD=FC/BC+BF/BC=(FC+BF)/BC
因为FC+BF=BC
所以EF/AB+EF/CD=1
所以1/AB+1/CD=1/EF
(2)1/S三角形ABD+1/S三角形BCD=1/S三角形BED
证明：因为EF平行AB
所以ED/AD=FD/BD
因为S三角形BED/S三角形ABD=ED/AD
因为S三角形BED/S三角形BCD=BE/BC
因为EF平行CD
所以BE/BC=BF/BD
所以S三角形BED/S三角形ABD+S三角形BED/S三角形BDC=FD/BD+BF/BD=(FD+BF)/BD
因为FD+BF=BD
所以S三角形BED/S三角形ABD+S三角形BED/S三角形BDC=1
所以1/S三角形ABD+1/S三角形BDC=1/S三角形BED

Answer 2

（1）在三角形BCD中，因为EF平行于CD，所以BF/BD=EF/CD；
在三角形ABD中，因为EF平行于CD，所以DF/BD=EF/AB；
BF/BD+DF/BD=1，即EF/AB+EF/CD=1，即1/AB+1/CD=1/EF
（2）1/S三角形ABD+1/S三角形BDC=1/S三角形BED
做AB与CD之间的高为H，则
S三角形ABD=1/2*H*AB，即AB=2*S三角形ABD/H；
S三角形BDC=1/2*H*CD，即AB=2*S三角形BDC/H；
S三角形BED=1/2*H*EF，即AB=2*S三角形BED/H；
因为1/AB+1/CD=1/EF
所以1/S三角形ABD+1/S三角形BDC=1/S三角形BED