Question

如图,M为正方形ABCD边AB上任意一点(不与A,B两点重合),E是AB延长线上的一点，MN垂直DM

如图,M为正方形ABCD边AB上任意一点(不与A,B两点重合),E是AB延长线上的一点，MN垂直DM,且交角CBE的平分线所在直线与N，求证MD=MN

Answer 1

延长AD至E，使DE=BM，连接EM，记点F在BM的延长线上
因为 在正方形ABCD中 AD=AB，角A=角CBA=90度
所以 AD+DE=AB+BM，即AE=AM
因为 角A=90度
所以 角E=45度
因为 BN是角ABC的外角平分线，角CBA=90度
所以 角NBM=45度
所以 角E=角NBM
因为 角A=90度
所以 角MDA+角DMA=90度
因为 MN垂直DM
所以 角NMF+角DMA=90度
所以 角MDA=角NMF
所以 角MDE=角NMB
因为 角E=角NBM，DE=BM
所以 三角形MDE全等于三角形NMB
所以 MD=MN

Answer 2

此题用同一法证。
在ME上取点F，使MF=AD，则易证BF=AM
作FN'垂直AF交角CBE的平分线于N'，证得FN'=BF=AM
于是可得：三角形ADM 全等于 三角形FMN'， 得MN'=ND
继续可证角N'MD=90度
又过M点垂直DM的直线唯一，所以N与N'为同一点
所以MD=MN

Answer 3

在ME上取点F，使MF=AD
角DMA+角NMF=90度，角DMA+角ADM=90度
角ADM=角FMN,角DMA=角MNF
在三角形DAM和三角形MFN中
角ADM=角FMN
角AMD=角FNM
DA=MF
三角形DAM全等三角形MFN（AAS） MD=NM

Answer 4

记点F在BM的延长线上因为 在正方形ABCD中 AD=AB，角A=角CBA=90度所以 三角形MDE全等于三角形NMB 所以 MD=MN 图呢？