Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是CC1,AA1的中点，求证：平面BDE//平面B1D1F

Answer 1

证明：作BB1中点G，连结C1G.FG
在正方形BCC1B1中，BG//C1E且BG=C1E
那么四边形BEC1G是平行四边形
所以：BE//C1G
又在正方形ABB1A1中，点F.G分别是AA1.BB1的中点，
那么易得：FG//A1B1且FG=A1B1
因为A1B1//C1D1且A1B1=C1D1，所以：
FG//C1D1且FG=C1D1
那么：四边形FGC1D1是平行四边形
所以：C1G//FD
则：BE//FD
而BD//B1D1，这就是说：
平面BDE内的两条相交直线BD.BE分别平行于平面B1D1F内两条相交直线B1D1.FD
所以由面面平行判定定理的推论可得：
平面BDE//平面B1D1

Answer 2

取B1D1中点H，BD中点M，连接FH，EM
因ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以BD//B1D1,FH垂直B1D1，EM垂直BD
连接AM，FM，EH，HC，可知AF平行等于EC，AM平行等于HC
所以四边形FMEH为平行四边形
所以EM平行等于FH
因为EM与BD交于点M，FH与B1D1交于点H，
且EM，BD属于平面BDE，FH，B1D1属于平面B1D1F
所以平面BDE／／平面B1D1F