Question

设抛物线y=ax^2+bx+c通过点（0,0），且当x∈[0,1]时y≥0.试确定a、b、c的值，使得抛物线y=ax^2+bx+c与直线x

x=1，y=0所围成图形的面积为4/9，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。

Answer 1

由抛物线y=ax^2+bx+c通过点（0,0）知c=0.
从而y=f(x)=ax^2+bx.
当x∈[0,1]时y≥0, 抛物线y=ax^2+bx+c与直线x=1，y=0所围成图形的面积为4/9，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。
所以4/9=∫(0,1)f(x)dx=a/3+b/2 (1)
V=π∫(0,1)[f(x)]^2dx=π[a^2/5+b^2/3+ab/2] (2)
由（1）得到b=(8-6a)/9
把它代入（2）得到
V=π/(15*81)[18a^2+60a+320]
要使V达到最小，即a=-60/(2*36)=-5/6时V达到最小，
因此b=13/9.
从而a=-5/6, b=13/9, c=0.满足要求。

Answer 2

LS在代入式子（2）时算错了，虽然我用的a=4/3-3b/2代入的，但是最后算出来应该在b=2时取最小值，此时a=-5/3。所以最后结果应该是a=-5/3,b=2,c=0.
思路没错倒是！