Question

柯西中值定理的辅助函数的构造怎么来的

Answer 1

一般来说构造辅助函数是没有一定之规的，且技巧性很强，但是也不是没有大致规律可循的。比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理，首先它们都是关于函数中值的问题，而这一问题有一个基础的定理：罗尔定理，因此构造的辅助函数要尽可能满足罗尔定理的条件。也就是要构造的函数满足在x=a和x=b点的函数值相等，并且其导数等于0时的形式就是要证的定理中表达式的形式。以拉格朗日中值定理为例，首先画出示意图就可以注意到拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理中的图形旋转一个角度而已，写出过点(a,f(a)),(b,f(b))的方程：f(x)-f(a)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)，可以看出如果令F(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)，则F(a)=F(b)，且F'(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)，令F'(x)=0则正是拉格朗日中值定理要证的表达式。柯西中值定理也是一样的道理。