Question

已知关于x的方程kxping+(2k-1)x+k-1=0只有整数根,且关于y的一元二次方程(k-1)y-3y+m=0的两个实数根

已知关于x的方程kx²+(2k-1)x+k-1=0只有整数根,且关于y的一元二次方程(k-1)y²-3y+m=0的两个实数根1.当k为整数时，确定m的值 2.在1的条件下.若m=2,求y1²+y2²

Answer 1

【第一题】
解：对于方程 kx²+(2k-1)x+k-1=0
十字相乘，得
(x+1)(kx + k -1) = 0
∴x = -1 或 x = (1-k)/k =(1/k) - 1
由题意，得
(1/k) - 1必为整数， 即 1/k为整数
当k为整数时，要满足1/k为整数，k=±1
而关于y的方程(k-1)y²-3y+m=0是一元二次方程，
∴k只能取值 - 1
此时，
对于方程 -2y²-3y+m=0，有实数根
则，判别式△ = 3² - 4*(-2)m = 8m + 9 ≥ 0

解得，m ≥ - 9/8

【第二题】
解：把 k= -1，m=2，代入关于y的方程，得
-2y² -3y +2 = 0
根据一元二次方程根与系数的关系，有
y1+y2 = -(-3)/(-2) = - 3/2
y1y2 = 2/(-2) = - 1

∴y1²+y2² = y1² + 2y1y2 + y2² - 2y1y2
= (y1+y2)² - 2y1y2
= (- 3/2)² - 2*(-1)
= 17/4