Question

一道无穷级数证明题

题目如图。

Answer 1

比较判别法，比较a(n+1)-a(n)和b(n)

Answer 2

恩，下面的证明不错

Answer 3

an,bn非负
an>0 an下有界
an+1<an+bn
an+1-an<bn

an-an-1<bn-1
an-1-an-2<bn-2
..
a2-a1<b1
an-a1<∑bn-1
an+1<a1+∑bn-1
∑bn收敛,lim(n->∞)∑bn-1=∑bn
an上有界
an上有界，下有界，因此lim(n->+∞)an存在

追问

上有界、下有界并不能保证极限存在，an未必单调。

追答

an+1an
n->∞,∑bn-1=∑bn
an+1<an矛盾
因此an+1<an 单调递减
有界，单调，收敛

追问

你犯了一个逻辑错误：
“n->∞,∑bn-1=∑bn
an+1无穷 的时候，an+1和an的下标也会趋于无穷，
此时两边均是an的极限，且“<”在此时变为“<=”，并不矛盾。得到lim(an)<=lim(an)，并不矛盾。而且你可以想一下，这个数列完全可以不单调，也能满足题述条件。
我自己已经做出来了，谢谢帮忙。