Question

如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP 绕点A顺时针方向

如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP 绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当 AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同 一直线上，此时作P′E⊥AC于点E． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当 CP PE ＝ 3 2 ，BP′=5 5 时，求线段AB的 长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到， ∴AP=AP′， ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP ′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠ABP；

（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD和△P′AE中， ∠PAD＝∠AP′E ∠ADP＝∠P′EA＝90° AP＝AP′ ，

∴△APD≌△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP；

（3） 解：∵ CP PE = 3 2 ，

∴设CP=3k，PE=2k， 则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 在Rt△AEP′中，P′E= (5k) 2 (3k) 2 =4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP ′=90°， ∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠EP′P， 又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′，

∴ AB P′E = P′A PE ，

即 AB 4k = P′A 2k ，

解得P′A= 1 2 AB，

在Rt△ABP′中，AB 2 +P′A 2 =BP′ 2 ，

即AB 2 + 1 4 AB 2 =（5 5 ） 2 ，

解得AB=10．

Answer 2

图呢？