Question

急，请老师帮我解答一道高中数学题已知函数f(X)=1/3x^3-a+1/2x^2+bx+a (a,b属于R),

已知函数f(X)=1/3x^3-a+1/2x^2+bx+a (a,b属于R),其导函数f'(x)的图像过原点（1）当a=1时，求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程。（2）若存在x<0,使得f '(x) =-9,求a的最大值. (3) 当a>0时,确定函数f(x)的零点个

Answer 1

解：（1）f′(x)=x^2-（a+1)x+b,
∵导函数f‘(x)的图像过原点
∴b=0
a=1，x=3时，f′(3)=9-3（a+1)=6-3a=3,；f(3)=9-（1+1）/2*9+1=1
∴x=3处的切线方程：y=3(x-3)+1=3x-8
（2）f(x)=(1/3)x³-(a+1/2)x²+bx+a

f'(x)=x²-(2a+1)x+b, 因为f'(0)=0，得b=0，f'(x)=x²-(2a+1)x=-9在x<0时有解，

需满足：两种情况：只有一解时此解为负，或两根都为负

只有一个根时，a=-7/2,
有两解时，△=(2a+1)²-36>0，即a>5/2或a<-7/2，因为两根都是负的，所以两根之和2a+1<0,得a<-1/2,所以a<-7/2,
综上，a≤-7/2，∴a的最大值为-7/2，

(3)f'(x)=x²-(2a+1)x=0时x=0或x=2a+1，所以有两个0点

希望能帮助到你，谢谢！