Question

已知a,b,c是都不相等的实数，且a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0，求证：(x-y)/(a-b)=(y-z)/(b-c)=(z-x)/(c-a)

Answer 1

证明：令a（y+z）=b（x+y）=c（x+z）=k

则有：

y+z=k/a①

x+y=k/b②

x+z=k/c③

由①+②+③得：

x+y+z=1/2k（1/a+1/b+1/c）④

由④-①，④-②，④-③分别可得：

x=1/2k（1/b+1/c-1/a）

y=1/2k（1/a+1/b-1/c）

z=1/2k（1/a+1/c-1/b）

∴y-z/a（b-c）=1/2k（1/a+1/b-1/c-1/a+1/b-1/c）/a（b-c）

=（c-b）k/abc（b-c）

=-k/abc

同理，z-x／b(c-a)=-k/abc

x-y／c(a-b)=-k/abc

∴y-z／a(b-c)=z-x／b(c-a)=x-y／c(a-b)

Answer 2

证明：令a（y+z）=b（x+y）=c（x+z）=k
则有：
y+z=k/a①
x+y=k/b②
x+z=k/c③
由①+②+③得：
x+y+z=1/2k（1/a+1/b+1/c）④
由④-①，④-②，④-③分别可得：
x=1/2k（1/b+1/c-1/a）
y=1/2k（1/a+1/b-1/c）
z=1/2k（1/a+1/c-1/b）
∴y-z/a（b-c）=1/2k（1/a+1/b-1/c-1/a+1/b-1/c）/a（b-c）
=（c-b）k/abc（b-c）
=-k/abc
同理，z-x／b(c-a)=-k/abc
x-y／c(a-b)=-k/abc
∴y-z／a(b-c)=z-x／b(c-a)=x-y／c(a-b)