Question

（2009?包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（

（2009?包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，得

a+b+c＝0 4a+2b+c＝0 c＝?2

解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．（2分）

（2）当△EDB∽△AOC时，
得

AO

ED

＝

CO

BD

或

AO

BD

＝

CO

ED

，
∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
当

AO

ED

＝

CO

BD

时，得

1

ED

＝

2

m?2

，
∴ED＝

m?2

2

，
∵点E在第四象限，
∴E1(m，

2?m

2

)．（4分）
当

AO

BD

＝

CO

ED

时，得

1

m?2

＝

2

ED

，
∴ED=2m-4，
∵点E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）．（6分）

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，
当点E₁的坐标为(m，

2?m

2

)时，点F₁的坐标为（m-1，

2?m

2

），
∵点F₁在抛物线的图象上，
∴

2?m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=

7

2

，m=2（舍去），
∴F1(

5

2

，?

3

4

)，
∴S_{平行四边形ABEF}=1×

3

4

＝

3

4

．（9分）
当点E₂的坐标为（m，4-2m）时，点F₂的坐标为（m-1，4-2m），
∵点F₂