Question

证明x^3+x-1=0有且仅有一个正实根

如题

Answer 1

令f(x)=x^3+x-1
因为f(0)=-1<0 f(1)=1
所以在（0，1）之间必存在一个使f（x）=0的解！
所以原方程存在正实根！
下面证明该正实根的唯一性：（两种方法）
方法一：对f(x)求导，f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数，所以知道有且仅有一个实根且位于（0，1）之间
方法二：设该实根为X1 假设存在第二个正实根（或更多）设为X2
有X1^3+X1=X2^3+X2
化简得X1^2+X2^2+X1X2=0 因为X1>0,X2>0所以假设不成立。得证！

Answer 2

令f(x)=x^3+x-1
因为f(0)=-1<0
f(1)=1
所以在（0，1）之间必存在一个使f（x）=0的解！
所以原方程存在正实根！
下面证明该正实根的唯一性：（两种方法）
方法一：对f(x)求导，f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数，所以知道有且仅有一个实根且位于（0，1）之间
方法二：设该实根为X1
假设存在第二个正实根（或更多）设为X2
有X1^3+X1=X2^3+X2
化简得X1^2+X2^2+X1X2=0
因为X1>0,X2>0所以假设不成立。得证！

Answer 3

令f(x)=x^3+x-1...
x=0,f(0)=-1为负
x趋于正无穷时,f(x)为正

由连续性定理,f(x)=0必有解.

又因为f'(x)=3x^2+1>0.
故f(x)=0有且仅有一个正实根

Answer 4

令f(x)=x^3+x-1
对f(x)求导，f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数
因为f(0)=-1<0
所以x^3+x-1=0有且仅有一个正实根

Answer 5

f(0)=-1,f(1)=1,f'(x)=3x^2+1>0单调递增在0-1间一定有一正解,且仅有一个