Question

线性代数合同标准形求解

求详细步骤

Answer 1

线代的概念很多，合同标准形只是其中之一，重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩矩阵、向量组、二次型、等价矩阵、向量组、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。而运算法则也有很多必须掌握：行列式数字型、字母型的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量定义法，特征多项式基础解系法、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵亦即用正交变换化二次型为标准形。其次，加强抽象及推理能力。线性代数是跳跃性的推理过程，在做题时表现的会很明显。同学们在做高等数学的题时，从第一步到第二步到第三步在数学式子上一个一个等下去很清晰，但是同学们在做线性代数的题目时从第一步到第二步到第三步经常在数学式子上看不出来，比如行列式的计算，从第几行或列加到哪行列很多时候很难一下子看出来。这都需要同学们不但基础知识掌握牢靠，还要锻炼自己的抽象及推理能力。行列式这个章节的核心考点主要分为两大块，一是行列式的计算，二是行列式的应用。行列式计算的主要方法有：第一，利用行列式的相关性质化行列式为上三角或下三角来进行计算；第二，利用行列式的行展开或列展开定理来进行计算；第三，利用特殊行列式来进行计算，如范德蒙行列式，行列和相等行列式，广义对角行列式等等，第四，利用特征值来计算行列式。

Answer 2

对于这样的对称方阵
求合同标准型就是求出所有特征值
按照正数，负数，0进行对角线排列即可
显然这里三个特征值就是0，2，2
于是合同标准型为
1 0 0
0 1 0
0 0 0

追问

标准形为什么不是220，规范性不是才应该为110吗

追答

两个实对称矩阵合同的充要条件
就是它们的正负惯性指数相同
也就是说只考虑正负就行了