Question

已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△AB

已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC外心；（2）若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的内心；（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的内心；（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的外心；（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的垂心．其中正确命题的序号是______（把你认为正确命题的序号都写上）

Answer 1

对于（1），如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影． 若P到△ABC三个顶点的距离相等，由条件可证得OA=OB=OC， 由三角形外心的定义可知，此时O是三角形ABC的外心， ∴命题（1）正确； 对于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO?AO=BO=CO?O为三角形的外心， ∴命题（2）不正确． 对于（3），在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等， ∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点．三内角角平分线的交点，则O是△ABC的内心， ∴命题（3）正确； 对于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO?OD=OE=OF?O为三角形的内心．则O是△ABC的外心，命题（4）不正确． 对于（5），连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E； 因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC； 因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO， 故AO⊥BC即AD⊥BC； 同理：BE⊥AC； 故O是△ABC的垂心． ∴命题（5）正确； 故答案为：（1）（3）（5）．