Question

若函数f（x）=a╱x－2lnx＋x╱2在区间（1，4）上内有极值，则实数a的取值范围

Answer 1

f'(x)=－(a/x²)－(2/x)＋(1/2)=[x²－4x－2a]/(2x²)
即只要x²－2x－a=0在区间(1，4)内有根就可以了。
考虑到x²－4x－2a的对称轴是x=2，则：
1、只要当x=2时，x²－4x－2a<0即可
得：
4－8－2a<0
a>－2
2、当x=4时，x²－4x－2a>0，或者：当x=1时，x²－4x－2a>0得：
16－16－2a>0或者1－4－2a>0
得：a<0或a<－3/2
即：a<0
综合，有：－2<a<0

Answer 2

定义域x>0
f'(x)=-a/x^2-2/x+1/2
=(x^2-4x-2a)/2x^2
y=x^2-4x-2a 对称轴x=2
在区间（1，4）上内有极值
x=2 y=-4-2a<0 a>-2
x=4 y=-2a>0 a<0
实数a的取值范围 -2<a<0

Answer 3

解：
令 f'=-a/x^2-2/x+1/2=0
得，x^2-4x-2a=0
a=1/2*(x^2-4x)
上式右端是一过点(0,0),(4,0)开口向上的抛物线
在(1,4)内，a取值为(-2,0),
且在(-2,-3/2)内，f有两个极值点，在2的两侧对称，
在(-3/2,0)内只有一个极值点。在2的右侧。

Answer 4

f'(x)=-a/(x^2)-2/x+1/2
f'(1)*f'(4)＜0 ∴ -3/2＜a＜0