Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b 2 =3ac，则角A的大小为______

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b 2 =3ac，则角A的大小为______．

Answer 1

△ABC中，∵2bcosB=acosC+c?cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA，∴sin2B=sin（A+C）． 得2B=A+C （如果2B=180°-（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）． A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°． 又b 2 =3ac，故 sin 2 B=3sinAsinC，∴ 3 4 =3sinAsinC=3× 1 2 [cos（A-C）-cos（A+C）]= 3 2 （cos（A-C）+ 1 2 ）， 解得 cos（A-C）=0，故A-C=±90°，结合A+C=120°，易得 A= π 12 ，或A= 7π 12 ． 故答案为A= π 12 ，或A= 7π 12