Question

如图 在RT三角形ABC 角BAC等于90度 AD=CD 点E是边AC的中点 联结DE DE的延长线与边BC相交于点F AG平行于BC

交DE于点G 联结AF CG
求证：AF=BF
求证：如果AB=AC 请判断四边形AFCG的形状 并说明理由

Answer 1

（1）证明：因为 AD=CD，点E是AC的中点，
所以 DE垂趋于 AC，
因为 角BAC=90度，
所以 DF//AB，
因为 DF//AB，E是AC的中点，
所以 点F是BC的中点，
又因为 角BAC=90度，直角形ABC是直角三角形，
所以 AF=BF。
（2）如果AB=AC，那么四边形AFCGJ是正方形。
理由如下：
因为 DF//AB，AG//BC，
所以 AG=BF，
因为 F是BC的中点，
所以 FC=BF=AG，
所以 四边形AFCG是平行四边形，
因为 AF=BF=FC，
所以 平行四边形AFCG是菱形，
又因为 AB=AC，F是BC的中点，
所以 AF垂直于BC，角AFC是直角，
所以 菱形AFCG是正方形。

Answer 2

解答：
证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．

（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，

∠AGE=∠CFE
∠AEG=∠CEF
AE=CE
△AEG≌△CEF（AAS）．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．