Question

已知,函数f（x（在（-1,1）上有定义,f（1/2）=-1,且对任意x，y∈（-1,1）,有f（x）+f(y）=

f（（x+y）/（1+xy）） （1）、试判断函数f（x）的奇偶性。 (2)对于数列{xn},有x1=1/2,xn+1=（xn-xn+1）/（1-xnxn+1）,证明数列{f（xn）}成等比数列。

Answer 1

(1)因为x的范围是(-1,1),是关于原点对称的，
令x=y=0
则f(0)+f(0)=f((0+0)/(1+0))=f(0)
所以f(0)=0
再令y=-x
f(x)+f(-x)=f((x-x)/(1-x^2))=f(0)=0
即f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
(2) 因为有f（x）+f(y）=f((x+y)/(1+xy))，
且xn+1=(xn-xn+1)/(1-xnxn+1),
令x=xn, y=-xn+1
则f(xn+1)=f(xn-xn+1)/(1-xnxn+1))=f(xn)+f(-xn+1),
由(1)知f(x)是奇函数，即f(-xn+1)=-f(xn+1),
所以上式可化为：f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1),
即f(xn+1)=1/2f(xn)
又因为x1=1/2，且f(1/2)=-1
所以数列{f(xn)}是首项为1/2（不为0)，公比为1/2的等比数列。

Answer 2

(1)令x=y=0
f(0)+f(0)=f((0+0)/(1+0))=f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(x)+f(-x)=f((x-x)/(1-x^2))=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
奇函数
(2)没时间算

Answer 3

(1)令x=y=0
f(0)+f(0)=f((0+0)/(1+0))=f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(x)+f(-x)=f((x-x)/(1-x^2))=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
奇函数