Question

高二数学解析几何

已知线段CD=（二倍根号3），CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a(a为正常数）
（1）求动点A所在的曲线方程
（2）若存在点A，使AC垂直AD，试求a的取值范围
（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO垂直OB，试求三角形AOB面积的最大值和最小值

Answer 1

解：以CD所在直线为x轴，CD的中点O为原点，建立直角坐标系，则C(-√3, 0), D(√3, 0)。
(1)设A(x,y)，由AC+AD=2a，得[（x-√3)^2 +y^2]^0.5 +[（x+√3)^2 +y^2]^0.5 =2a,化简，得：
当a<√3时,无意义；当a=√3时，方程为y=0（-√3≤x≤√3)轨迹是线段CD;
当a＞√3时，（a^2-3)x^2+a^2 y^2=a^4 -3a^2
(2)椭圆中，当A是短轴的顶点时，∠CAD最大。当∠CAD=π/2时，a^2+a^2=（2√3）^2 a=√6.所以√当3＜a≤√6时，存在点A，使AC垂直AD。
（3）a=2时，动点B满足x²+4y²=4。（1）设过AB的直线为：y=kx+m…….....（1）
x^2/4+y^2=1.................................(2)
联立两式解得：x1+x2= ? x1x2=?
y1+y2=? y1y2=?
由AO垂直OB得x1x2+y1y2=0
原点O到直线的距离d=|m|/√（1+k^2）
|AB|=|X1-X2|√（k^2+1）
面积S=1/2d|AB|
（2）当直线AB斜率k不存在（直线与x轴垂直）时y=m
解法同上<3>(1)
可得到三角形AOB面积的最大值为1,三角形AOB面积的最小值为4/5 。