Question

急急急急急急！！！ 设α属于(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0，f(1)=1,对定义度内任意的x,y

设α属于(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=0，f(1)=1,对定义度内任意的x,y,满足f[(x+y)/2]=f(x)sinα+(1-sinα)*f(y)
(1)求f(1/2)和f(1/4)
(2)函数g(x)=sin(α-2x)的单调递增区间
(3)n属于N时，an=1/2^n，求f(an),并猜测x属于[0,1]时，f(x)的表达式

Answer 1

解：(1)令x=1,y=0则有 f(1/2)=f((1+0)/2)= f(1)sinα+(1-sinα)*f(0)= sinα
同理，令x=1/2,y=0有f(1/4)= f(1/2)sinα+(1-sinα)*f(0)=( sinα)^2
(2) g(x)=sin(α-2x)=-sin(2x-α).欲求函数g(x)=sin(α-2x)的单调递增区间，即求函数h(x)=sin(2x-α)的单调递减区间。
故有2kπ+π/2≤2x-α≤2kπ+3π/2解得kπ+π/4+α/2≤x≤kπ+3π/4+α/2
(3)由题意,令x=1/2^(n-1),y=0.f(1/2^n)= f(1/2^(n-1))sinα+(1-sinα)*f(0)
= f(1/2^(n-1))sinα
也即f(1/2^n)= f(1/2^(n-1))sinα
同理f(1/2^(n-1))= f(1/2^(n-2)) sinα
…………
f(1/2^2)= f(1/2)sinα
f(1/2)= sinα
由迭代法f(an)= f(1/2^n)=…=( sinα)^n
令x= an=1/2^n,同取对数，得n=-log(2,x)
∴f(x)= (sinα)^( -log(2,x)).
(1) (2) (3)中α均属于(0,π/2)。
希望有所帮助

Answer 2

我的天啊，你高三的吗？怎么不去高考啊？我最讨厌这种题目了。。。你加油啊，挺过高考就好了。