Question

:已知函数f(x)=ax+x2-xlna，（a＞1）注:ax(a的x次方），若函数y=|f(x)-t|-1有四个零点，求t的值；

Answer 1

|f(x)-t|-1=0，得a^x=-x^2+xlna+t±1结合图象，指数函数图象与抛物线至多有2个交点，故两个方程各有两个根．故函数g(x)=a^x+x^2-xlna-(t±1)的最小值要小于0

g'(x)=(a^x-1)lna+2x,g''(x)=a^x(lna)^2+2>0，g'(x)单调增．
当x>0时，g'(x)>g'(0)=0,g(x)在[0,+无穷）单调增；当x<0时，g'(x)<g'(0)=0,g(x)在(+无穷,0]单调减．

故当x=0时，g(x)取到最小值．令g(0)=1-(t±1)<0.
所以t>2.

Answer 2

解：（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax-1＞0，所以f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（4分）
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f'（0）=0，且f'（x）在R上单调递增，
故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）
所以x，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2．