Question

如图,四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

Answer 1

解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝√3/2x，EF=x/2
在Rt△EFC中，
∵EF²＋FC²＝EC²，
（x/2）²+（√3/2x+x）²=（√3+1）²
解得x=√2

Answer 2

解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝√3/2x，EF=x/2
在Rt△EFC中，
∵EF²＋FC²＝EC²，
（x/2）²+（√3/2x+x）²=（√3+1）²
解得x=√2

Answer 3

1) EB=AB NB=MB
∠EBN=∠ABM=60°-∠NBA
△AMB≌△ENB
2。a)当M点在何处时，AM＋CM的值最小
两点间直线最短。此时，M位于BD的中点。
2。b）(根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN＋CM＝EC最短)
设正方形边长为l，连接AC ，交BD 于O, 设OM=X
AM＋BM＋CM=2√（l^2/2+x^2)+(√2/2)l-x 取最小值，
MB=(3√2-√6)l/6 AM=CM=√6 l/3
最小值=（√2+√6）l/2
3）最小值=（√2+√6）l/2=√3+1
l=√2

Answer 4

证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）

Answer 5

1. BE = AB, BM = BN
ABE=MBN = 60
ABM = 45
ABN = 15
EBN = 45
所以：△AMB≌△ENB
2。当M在BD中点时
3。设点B据BD中点距离为x
AB = T
有AM+BM+CM = 2AM+BM = 2 sqrt(T^2 / 2 + x^2 ) + T/sqrt(2) - x
= T(2sqrt(1/2 +(x/T)^2) + 1/sqrt(2) + x/T)
当x/T = sqrt(2)-1时该值最小

追问

我才上初二，你写的太复杂了，我看不懂