Question

八年级几何

平面内两条直线l1∥l2，它们之间的距离等于a．一块正方形纸板ABCD的边长也等于a．现将这块硬纸板如图所示放在两条平行线上．
（1）如图1，将点C放置在直线l2上，且AC⊥l1于O，使得直线l1与AB、AD相交于E、F，证明：△AEF的周长等于2a；
请你继续完成下面的探索：
（2）如图2，若绕点C转动正方形硬纸板ABCD，使得直线l1与AB、AD相交于E、F，试问△AEF的周长等于2a还成立吗？并证明你的结论；
（3）如图3，将正方形硬纸片ABCD任意放置，使得直线l1与AB、AD相交于E、F，直线l2与BC、CD相交于G，H，设△AEF的周长为m1，△CGH的周长为m2，试问m1，m2和a之间存在着什么关系？试证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：因为ABCD是正方形
所以AB=BC=a
角EAO=45度
AC=根号2倍a
角EAF=90度
因为L1平行L2
因为AC垂直L1于O
所以OC=a
所以AO=AC-OC=a倍根号2-a
EF=2OE=2AO=2a倍根号2-a
AE=AF=2a-a倍根号2
所以三角形AEF的周长=AE+AF+EF=4a-2a倍根号2-2a+2a倍根号2=2a
(2)

Answer 2

(1)、（2）作AG⊥l1与点G，连接C、E,连接C、F
∵∠B=∠D=90°,AG⊥l1
∴∠B=∠CGE=∠CGF=∠D=90°
∵BC=CD=CG=a
又∵EC、FC是公共边
∠B=∠CGE=∠CGF=∠D=90°
∴△EBC≌△EGC △FGC≌△FDC
∴EB=EG FG=FD
∴S△AEF=AB+AD=2a