Question

将函数f(z)=1/(z(1-z))在下列区域中展开洛朗级数 （1）/z/>1 (2)0</z-1/<1 (3)1</z+1/<2 详细答案，麻烦大

Answer 1

由于展开式1/（1-z）=∑z^n (n=0,1,2...) (│z│<1)。

（1）│z│>1。

因为│z│>1，所以 1> 1/│z│。

f(z)=1/(z(1-z))=1/(z×z(1/z-1))=-1/(z×z(1-1/z))=-1/ z^2 ×∑(1/z)^n(n从0到无穷)=-∑1/z^(n+2)(n从0到无穷)。

(2)0</z-1/<1。

因此│1-z│<1 。

f(z)=1/(z(1-z))=1/z×∑z^n (n从0到无穷)= ∑z^n (n从1到无穷)。

(3)1</z+1/<2。

因此 │1+z│/2<1 , 1/│1+z│<1。

f(z)=1/(z(1-z))=1/(z+1-1)×(2-(z+1)))=-1 / ( (z+1)×2×(1-1/(z+1))×(1-(z+1)/2) )=1/2(z+1)×∑(z+1)^n/2^n(n从0到无穷)×∑ 1/(z+1)^n (n从0到无穷)=∑ (z+1)^(n-1)/2^n (n从0到无穷)。

简介

Z变换具有许多重要的特性：如线性、时移性、微分性、序列卷积特性和复卷积定理等等。这些性质在解决信号处理问题时都具有重要的作用。其中最具有典型意义的是卷积特性。由于信号处理的任务是将输入信号序列经过某个（或一系列各种）系统的处理后输出所需要的信号序列。

因此，首要的问题是如何由输入信号和所使用的系统的特性求得输出信号。通过理论分析可知，若直接在时域中求解，则由于输出信号序列等于输入信号序列与所用系统的单位抽样响应序列的卷积和，故为求输出信号，必须进行繁琐的求卷积和的运算。

Answer 2

由于展开式1/（1-z）=∑z^n (n=0,1,2...) (│z│<1)
（1）│z│>1
因为│z│>1，所以 1> 1/│z│,
f(z)=1/(z(1-z))=1/(z×z(1/z-1))=-1/(z×z(1-1/z))=-1/ z^2 ×∑(1/z)^n(n从0到无穷)=-∑1/z^(n+2)(n从0到无穷)
(2)0</z-1/<1
因此│1-z│<1 ,
f(z)=1/(z(1-z))=1/z×∑z^n (n从0到无穷)= ∑z^n (n从1到无穷)
(3)1</z+1/<2
因此 │1+z│/2<1 , 1/│1+z│<1
f(z)=1/(z(1-z))=1/(z+1-1)×(2-(z+1)))=-1 / ( (z+1)×2×(1-1/(z+1))×(1-(z+1)/2) )=1/2(z+1)×∑(z+1)^n/2^n(n从0到无穷)×∑ 1/(z+1)^n (n从0到无穷)=∑ (z+1)^(n-1)/2^n (n从0到无穷)