Question

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC． （1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．
（1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；
（2）如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF，这个结论还成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

 

（1）证明：∵P，E，F分别为中点，

∴PE=1/2 AB，PF=1/2 CD．（三角形中位线定理）

∴PE+PF=1/2（AB+CD）．

又∵AB=CD，

∴AB=PE+PF．

（2）成立．

∵PE∥AB，PF∥CD，

∴PE/AB =PC/BC ，PF/CD =PB/BC ，（平行线分线段成比例定理）

∵AB=CD

∴PE/AB +PF/CD =PC/BC +PB/BC 

∴(PE+PF)/AB =(PC+PB)/BC ，

∴(PE+PF)/AB =1，

∴PE+PF=AB．

 

 

Answer 2

∵E、P是AC、BC的中点
∴EP=1/2AB
同理：FP=1/2DC
∵AB=DC
∴EP=FP
∴AB=2PE=2PF
即AB=PE+PF

希望有所帮助！

Answer 3

（1）PE=1/2AB PF=1/2CD=1/2AB (三角形中线）所以 AB=PE+PF
（2）设PC/BC=1/K 那么PE/AB=1/K PB/BC=(BC-PC)/BC=1-1/K
PF/CD=1-1/K PF=(1-1/K)CD=(1-1/K)AB
PE+PF=(1/K+1-1/K)AB=AB