Question

已知方程x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0表示一个圆。 1 求实数m的取值范围 2 求圆的半径的取值范围

3 求圆的圆心C的轨迹方程

Answer 1

将x^2+y^2-2(m+3)x+2(1-4m^2)y+16m^4+9=0化成标准方程

[x-(m+3)]^2+[y+(1-4m^2)]^2=1+6m-7m^2

要使其成为圆的方程（包括退化的圆——点），必须使半径的平方

1+6m-7m^2≥0，即(1+7m)(1-m)≥0

由1+7m≥0且1-m≥0得-1/7≤m≤1

由1+7m≤0且1-m≤0无解

所以m的取值范围是-1/7≤m≤1

当等号成立时，圆退化为点（m+3，4m^2-1），即（20/7，-45/49）或（4，3）

区间是数集的一种表示形式,因此，区间的表示形式与集合的表示形式相同。

具体如下:有限区间

(1) 开区间 例如:{x|a<x<b}=(a,b)

(2) 闭区间 例如:{x|a≤x≤b}=[a,b]

(3) 半开半闭区间 例如:{x|a<x≤b}=(a,b]

{x|a≤x<b}=[a,b)

b-a成为区间长度。

有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。

Answer 2

X^2+Y^2-2(m+3)X+2(1-4m^2)Y+16m^4+9=0
(X-(m+3))^2+(Y+1-4m^2)^2=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-9-16m^4
等式左边可以化为
左=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-9-16m^4
=m^2+6m+9+1-8m^2+16m^4-9-16m^4
=-7m^2+6m+1

1.
左=-(7m+1)(m-1)>0
=> -1/7<m<1

2.
圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
那么等式右边配方后左边部分应该是半径的平方
要求左边一元二次部分的取值范围要配方，如下
R^2=左=-7(m-3/7)^2+16/7<=16/7
=> 0<R<=4*7^0.5/7 (7^0.5表示根号7)

3.
圆心为(m+3,4m^2-1)
y=4m^2-1
=4*((m+3)^2-6m-9)-1
=4*(m+3)^2-24(m+3)+35
=4x^2-24x+35