Question

急急急~求解一道高中数学题！已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx(a>=0)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值

已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx(a>=0) 若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围。

我的思路是先求导数，然后因为不确定是单调增还是单调减函数，所以应讨论。后面的做的有点晕了。麻烦给讲一下。
真谢谢啦

Answer 1

导数f'(x)=a+a/x^2-2/x=(ax^2-2x+a)/x^2
若要f(x)在其定义域内为单调函数，则需使f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立
1)若f'(x)≥0恒成立，则有ax^2-2x+a≥0恒成立；
对曲线y=ax^2-2x+a，因a>0，故开口向上；
当△=4-4a^2=4(1-a^2)≤0时，y≥0恒成立，此时1≤a^2，解得a≥1
2)若f'(x)≤0恒成立，则有ax^2-2x+a≤0恒成立；
因曲线y=ax^2-2x+a (a>0) 开口向上，故y≤0不可能恒成立，故f'(x)≤0不恒成立
综上所述，欲使f(x)为单调函数，仅当f'(x)≥0时成立，此时a≥1

Answer 2

求导得y'=a+a/x^2-2/x=(ax²-2x+a)/x²
定义域为（0，+∞)
当a=0时，y'=-1/x<0, 此时函数f(x)在其定义域内为单调函数。所以a=o符合题意
当a≠0时，由于函数f(x)在其定义域内为单调函数，又a>0
所以此时y'≥0 ,此时△=2²-4a²≤0,得a≥1
综上a≥1或a=0

Answer 3

f'(x)=(ax^2-2x+a)/x^2，
由已知ax^2-2x+a≥0恒成立或ax^2-2x+a≤0，
因此，a=0或4-4a^2≤0，因此a的取值范围是（-∞，-1）∪{0}∪（1，+∞） ，
又由已知a≥0，所以a的取值范围是{0}∪（1，+∞）

Answer 4

求导后f(x)"=ax^2-2x+a/x^2,因为a>=0,x>0,故只能是单调增函数。即导函数大于或等于0恒成立。得
ax^2-2x+a>=0恒成立，判别式小于或等于0即可，得a>=1. a=0显然满足

Answer 5

首先应该找出定义域:x>0,
然后求导得a+a/x2-2/x>0
解出它即可,注意x的取值