Question

一道数学题我想好长时间，请高手指点一下。『详细过程』谢谢～

在直角坐标系中，A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，6），动点P以2/秒的速度从点B出发，沿BA向点A移动，同时动点Q以1/秒的速度从点A出发，沿AO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）．（1）求AB的长；（2）若四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，求t的值；（3）在P、Q两点移动的过程中，能否使△APQ与△AOB相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）解：AB=√6²＋8²=10
(2) 解：∵四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3
∴S△APQ=3/20S△AOB=3/20×1/2×6×8=18/5
过P点作PG⊥OB于点G 则△PGB∽△AOB
∴BG/BP=BO/BA 即PG=3/5×2t=6/5t
∴OG=OB-BG=6-6/5t
S△APQ=1/2×t×(6-6/5t)=18/5
解得t=2 或t=3
（3）解：假设存在点P使△APQ与△AOB相似
① 当∠PQA=90º时，△AQP∽△AOB 则AQ/AP=AO/AB=4/5
∵BP=2t AQ=t ∴P(8/5t，6-6/5t)
∴AP=AB-BP=10-2t
∴t/(10-2t)=4/5
解得t=40/13 则P(64/13，30/13)
② 当∠QPA=90º时，△APQ∽△AOB 则 AQ/AP=AB/AO=5/4
∵BP=2t AQ=t ∴P(8/5t，6-6/5t)
∴AP=AB-BP=10-2t
即t/(10-2t)=5/4
解得t=25/7 则P(40/7，12/7)

Answer 2

（1）AB=10（勾股定理）
（2）t=1
BP=2t AQ=t
四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，时△APQ的面积是大三角形AOB面积的3/20
△AOB的面积=1/2*6*8=24
△APQ的面积=3/20*24=18/5=1/2*t*（6-2t*6/10）
t=1或t=6（舍去）
（3）若能相似，则角APQ为直角，且AP/AQ=8/10
（10-2t）/t=8/10
t=25/7

Answer 3

解：
（1）AB=10.因为△ABO构成了一个直角边长为6、8的直角三角形，根据勾股定理 斜边AB=10.
（2）首先由A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，6），可求得AB直线的方程表达式为：
y=(-3/4)x +6
△ABO的面积为6*8/2=24
设经过了t秒后，点P在AB上运动了2t的距离，此时P点的坐标为（1.6t，6-1.2t)；点Q在AO上运动了t距离，所以Q的坐标为（8-t，0）
△APQ的面积=AQ*PN/2=t*(6-1.2t)/2
四边形BPQO的面积=△ABO的面积-△APQ的面积=24-t*(6-1.2t)/2
由因为四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，所以有方程：
24：（t*(6-1.2t)/2）=20：3
解得t=2.或者t=3.

(3)若要使得△APQ与△AOB相似，则必然有PN与PQ重合，所以8-t=1.6t,解得t=40/13.
此时P点的坐标为（64/13,30/13）