Question

四边形ABCD中,AB=CD,M:N分别是AD.BC中点,NM的延长线与BA.CD的延长线分别交于点P.Q.求证<APM=<DQM

Answer 1

分析： 

条件中出现二个中点（E，F）是多中点问题，平面几何中出现多个中点时可应用或添加三角形中位线基本图形进行订明，但这里中点连线EF不是三角形中位线，在这种情况中我们必需再增加中点，即增加与带中点线段（BC，AD）有公共端点的线段（如AC，BD）的中点，再添加三角形中位线基本图形 

证明： 

连结BD，取BD中点G，连结GE，GF， 

∵E，F是BC，AD的中点，∴GE=CD/2=AB/2=GF， 

∴GE//CD（C，N），GF//AB（MB） 

∴∠GEF=∠GFE，∴∠AMF=∠GFE=∠GEF=∠CNF

Answer 2

AC，取AC的中点E，连接ME，NE。
∵N，E分别是BC，AC的中点
∴NE∥AB，且NE=1/2AB，
∴∠ENM=∠APM(∠BPN)。（平行线的内错角相等）
∵M，E分别是AD，AC的中点
∴ME∥CD，且ME=1/2CD，
∴∠EMN=∠DQM(∠CQN)（平行线的同位角相等）
∵AB=CD
∴NE=ME
∴△MEN是等腰三角形
∴∠ENM=∠EMN，
∴∠APM=∠DQM。

Answer 3

连接BD,取BD中点H,连接HM,HN
∵M:N分别是AD.BC中点
∴MH,NH分别是⊿ABD,⊿BCD的中位线
∴MH∥AB,MH=½AB, NH∥CD,NH=½CD
∵AB=CD
∴MH=NH
∴∠HMN=∠HNM
∵MH∥AB,NH∥CD
∴∠APM=∠HMN,∠DOM=∠HNM
∴∠APM=∠DOM

Answer 4

连接BD，取BD中点G，连接GM 和NG
MG‖PB，∠GMN=∠P。GM=1/2AB
GN‖CQ，∠GNM=∠CQN，Gn=1/2CD
GM=GN，∠GMn=∠GNM，∠P=∠DQM