Question

已知一个长方体的共某一个顶点的三个面的面积分别为√2，√3，√6。

已知一个长方体的共某一个顶点的三个面的面积分别为√2，√3，√6，请建立恰当的空间直角坐标系，写出该长方体各个面的中心坐标，并求出其体对角线的长度。

Answer 1

如图：建立空间直角坐标系

设OA=x,OC=y,OG=z

xy=√6          （1）

xz=√3            （2）

yz=√2             （3）

三个式子相乘得：xyz=√6             （4）

                          或xyz=-√6（舍）

 (4)/(1):   z=1

  (4)/(2):  y=√2

(4)/(3):  x=√3

面OABC中心坐标（√3/2，√2/2，0）

面DEFG中心坐标（√3/2，√2/2，1）

面OAFG中心坐标（√3/2，0，1/2）

面BCDE中心坐标（√3/2，√2，1/2）

面OCDG中心坐标（0，√2/2，1/2）

面ABEF中心坐标（√3，√2/2，1/2）

长方体对角线的长=√(3+2+1)=√6

Answer 2

设长方体长为a，宽为b，高为c
不妨令ab=√(2)，bc=√(3)，ac=√(6)
得a=√(2)，b=1，c=√(3)，
以长方体的一条长为x轴，建正交坐标系如图（图发不上来- -）
得面中点坐标（(√(2))/2, 1/2, 0）,（(√(2))/2, 0, (√(3))/2）,（0, 1/2, (√(3))/2）,（√(2), 1/2, (√(3))/2）,（(√(2))/2, 1, (√(3))/2）,（(√(2))/2, 1/2, √(3)）.
面对角线：√(5)，√(3)，2；体对角线：√(6)

Answer 3

√6