Question

正三棱锥A-BCD底面边长a,侧棱长2a,过B作与AC、BD都相交截面BEF,截面周长最小时，求截面面积

Answer 1

将该正三棱锥A-BCD沿AB边展开
得五边形ABCDB',则AB=AC=AD=AB'=2a,BC=BD=DB'=a
显然直线BB'与AC、AD相交于E、F两点即为所求的最小周长时的两个点
因AB=AC=AD=AB'=2a
则BCDB'在以A为圆心2a为半径的圆上
设角CAD=x,易得sin(x/2)=1/4,cos(x/2)=√15/4
sinx=2(1/4)√15/4=√15/8，cosx=7/8
则sin2x=2(√15/8)(7/8)=7√15/32,cos2x=17/32
sin(2x-x/2)=sin2xcosx/2-cos2xsinx/2
=(7√15/32)(√15/4)-(17/32)(1/4)=11/16
cos(3x/2)=3√15/16
EF=2tan(x/2)[2acos(3x/2)]=2(1/√15)(3a√15/8)=3a/4
则BE=B'F=2asin(3x/2)-EF/2
=2a(11/16)-3a/8=a
所求的△三边分别为a,a,3a/4
cos角EBF=[2a^2-(3a/4)^2]/2a^2=√23/8
sin角EBF=√41/8
则所求S△BEF=2a^2(√41/8)=a^2(√41/4)