Question

已知函数f(x)满足f(x+1)=1/f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x

若在区间[1,3]内，g(x)=f(x)-kx-k有四个零点，则实数k的取值范围是
打错了、是[-1,3]、、

Answer 1

f(x+2)=f[(x+1)+1]=1/f(x+1)=1/[1/f(x)]=f(x)
所以f(x)是周期为2的周期函数；
又因为f(x)是偶函数，所以x∈[-1,0]时,f(x)=f(-x)=-x
这样函数f(x)的图像就可以完全确定；
g(x)=f(x)-kx-k有四个零点，就是方程：f(x)=k(x+1)有四个根；
画出函数f(x)及直线y=k(x+1)的图像，
考察直线的斜率变化情况可知：
在区间[1,3]上，k=0时，有一个交点；
0<k≤1/4时，有2个交点；
1/4<k≤1时，有1个交点，
其余情况没有交点；
所以函数g(x)不可能有四个零点；
你在看看题目？

追问

我貌似打错了……是[-1,3]、、关键是我还是画不出4个零点啊、我最多画出3个、、

Answer 2

用[-1，3]解的

因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x) 所以f(x+1)=f(-x-1)=-f(x) 对于f(-x-1)=-f(x) ，当x的取值为-x时，
得f(x-1)=-f(-x) 又-f(-x)=-f(x)=f(x+1) 所以f(x-1)=f(x+1) 故f(x)=f(x+2)，那么f(x)便是以2为周期的偶函数
当x∈[0,1]时，f﹙x﹚＝x²，因为f(x)周期为2，我们便可以画出大致的图像，图像关于Y轴对称
函数g﹙x﹚＝f﹙x﹚－kx－k
当定义域为[﹣1，1]时 g(x)=x^2-kx-k 且 b^2-4ac>0
当定义域为[ 1，3]时 g(x)= (x-3)^2 -kx-k 且 b^2-4ac>0
就可以求出k值

追问

额、应该是“当x∈[0,1]时，f(x)=x”额、、你看错题目了……

Answer 3

现根据题目求出F(X)。在分离参数，将K分离出来，构造新函数，并求导