Question

在三角形ABC中，角ABC的对边分别为a,b,c且b²+c²=a²+根号3bc,sinAsinB=cos²C/2

(1)求角A,B,C的大小 (2)若BC边上的中线AM的长为根号7，求△ABC的面积 详细过程，主要是第二题

Answer 1

解:
(1)
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
由已知b²+c²=a²+√3bc得a²=b²+c²-√3bc
2bccosA=√3bc
cosA=√3/2
A=π/6
sinAsinB=cos²(C/2)
sinAsinB=(1+cosC)/2
2sinAsinB=1-cos(A+B)
2sinAsinB=1-cosAcosB+sinAsinB
cosAcosB+sinAsinB=1
cos(A-B)=1
A-B=0
B=A=π/6
C=π-π/6-π/6=2π/3
(2)
三角形是等腰三角形，A=B，CM=BM=a/2=b/2
由余弦定理得
(√7)²=b²+(a/2)²-2b(a/2)cosC
b=a，C=2π/3代入，整理，得
7a²/4=7
a²=4
a=b=2
S△ABC=(1/2)absinC=(1/2)×2×2×sin(2π/3)=√3