Question

已知△ABC的三边长a、b、c满足b+c=8，bc=a²-12a+52，其中a、b、c均为整数，求△ABC的周长。

Answer 1

因为b+c=8
所以b=8-c
bc=c(8-c)
=8c-c²
a²-12a+52= -c²+8c
a²-12a+36+16+c²-8c=0
(a-6)²+(c-4)²=0
∵（a-6）²≥0
（c-4）²≥0
∴a-6=0
a=6
c-4=0
c=4
∴b=8-4=4
△ABC的周长：6+4+4=14

Answer 2

常法：-1<cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=[(b+c)^2-2bc-a^2]/2(a²-12a+52)=(64-3a^2+24a-104)/(2a²-24a+104)=(40+24a-3a^2)/(2a²-24a+104)<1, 解不等式得a=6
简法：b+c=8, (b+c)^2>=4bc, bc<=16. 当a=1,2,3,4,5,6,7时，bc=41,32, 25, 20, 17,16,17
故a=6, b=c=4, 周长14.

Answer 3

bc=a²-12a+52=(a-6)²+16
即bc≥16
因为b+c=8
所以bc≤（b+c）²/4=16
所以bc=16
当且仅当b=c=4时取等号
那么此时a=6
所以三角形的周长=a+b+c=4+4+6=14
数理化精英团真诚为您解答，希望对您有帮助！！

Answer 4

很高兴为你解答
a^2-12a+52=bc
∵b+c=8 ∴b=8-c
∴a^2-12a+52=8c-c^2
a^2-12a+c^2-8c+36+16=0
(a-6)^2+(c-4)^2=0
∴a=6,c=4
∴b=8-c=8-4=4
∴C△ABC=a+b+c=6+4+4=14

Answer 5

三楼方法不错，运用均值定理
方法很简洁啊！