Question

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，面积为S△ABC，且m=(...

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，面积为S△ABC，且m=(b2+c2-a2，-2)，n=(sinA，S△ABC)，m⊥n． （1）求函数f(x)=4cosxsin(x-A2)在区间[0，π2]上的值域； （2）若a=3，且sin(B+π3)=33，求b．

Answer 1

解：（1）∵m=(b2+c2-a2，-2)，n=(sinA，S△ABC)，m⊥n，
∴m•n=（b2+c2-a2）sinA-2S△ABC=0，
又a2=b2+c2-2bccosA，即b2+c2-a2=2bccosA，且S△ABC=12bcsinA，
∴2bccosAsinA-2×12bcsinA=0，即2bccosAsinA-bcsinA=0，
∴cosA=12，又A为三角形的内角，
∴A=π3，
函数f(x)=4cosxsin(x-A2)=4cosxsin（x-π6）
4cosx（32sinx-12cosx）=23sinxcosx-2cos2x
=3sin2x-cos2x-1=2sin（2x-π6）-1，
∵x∈[0，π2]，∴2x-π6∈[-π6，5π6]，
∴-12≤sin（2x-π6）≤1，
∴-2≤f（x）≤1，
则f（x）的值域为[-2，1]；
（2）由sin（B+π3）=33，得到3π4＜B+π3＜π，
∴cos（B+π3）=-1-sin2(B+π3)=-63，
∴sinB=[（B+π3）-π3]
=sin（B+π3）cosπ3-cos（B+π3）sinπ3
=33×12+63×32=3+226，
又a=3，sinA=32，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：b=asinBsinA=1+6．