Question

已知函数f(x)=cos^2wx+根号3sinwxcoswx(w>0)的最小正周期为pai

1.求f(2/3pai)的值
2.求函数f(x)的单调递增区间及其图像的对称轴方程

Answer 1

解1：
f(x)=cos^2wx+根号3sinwxcoswx
f(x)=(coswx)^2+√3sinwxcoswx
f(x)=[1+cos(2wx)]/2+(√3/2)sin(2wx)
f(x)=(1/2)cos(2wx)+(√3/2)sin(2wx)+1/2
f(x)=sin(π/6)cos(2wx)+cos(π/6)sin(2wx)+1/2
f(x)=sin(2wx+π/6)+1/2
最小正周期：π=2π/(2w)=π/w
解得：w=1。

解2：
f(x)=sin(2x+π/6)+1/2
f'(x)=2cos(2x+π/6)
令：f'(x)＞0，
即：2cos(2x+π/6)＞0
整理，有：cos(2x+π/6)＞0
解得：kπ-π/3＜x＜kπ+π/6，k=0、±1、±2……
即：f(x)的单调递增区间是：x∈(kπ-π/3，kπ+π/6)。其中：k=0、±1、±2……

对于f(x)=sin(2x+π/6)+1/2，其对称轴经过f(x)的最值点、且平行于y轴，
因为：-1≤sin(2x+π/6)≤1，
所以：sin(2x+π/6)的最值是：
1、sin(2x+π/6)=-1，
此时有：2x+π/6=2kπ-π/2，解得：x=kπ-π/3，其中：k=0、±1、±2……
2、sin(2x+π/6)=1，
此时有：2x+π/6=2kπ+π/2，解得：x=kπ+π/6，其中：k=0、±1、±2……
综上所述，f(x)的对称轴方程是：x=kπ-π/3、x=kπ+π/6，其中：k=0、±1、±2……

Answer 2

解
f(x)=cos^2wx+√3sinwxcoswx
=（1/2)[1+cos2wx+√3sin2wx)
=1/2+sin(2wx+π/6)(w>0)的最小正周期为π,
∴w=1,f(x)=1/2+sin(2x+π/6).
1.f(2π/3)=1/2+sin(3π/2)=1/2-1=-1/2.
2.f(x)的增区间由（2k-1/2)π<2x+π/6<(2k+1/2)π,k∈Z确定，
各减π/6，（2k-2/3)π<2x<(2k+1/3)π,
各除以2，（k-1/3)π<x<(k+1/6)π.
图像的对称轴方程为2x+π/6=(k+1/2)π,
化简得x=(k+1/3)π/2.

Answer 3

f(x)=1/2*cos2wx+√3/2*sin2wx+1/2
=sin(2wx+π/6)+1/2