Question

已知三角形ABC三个内角A,B,C成等差数列，其外接圆半径为1，有sinA-cosC+√2/2cos(A-C)=√2/2,求A,B,C和面积

Answer 1

如A,B,C成等差，显然B=π/3
sinA-sinC+√2/2cos(A-C)=√2/2

这个方程用构造一元二次方程来解。
由和差化积公式，易得:
①sinA-sinC
=2cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]
=2cos(B/2)sin[(A-C)/2]
=sin[(A-C)/2]

另一部分可以升幂降角
√2/2cos(A-C)
=√2/2[1-2sin^2[(A-C)/2])
=√2/2-√2sin^2[(A-C)/2]

设sin[(A-C)/2]=x
原方程:
x-√2x^2=0
解得x=√2/2 或 x=0
当sin[(A-C)/2]=√2/2时

A-C=A-(π-B-A)=2A-2π/3
故sin(A-π/3)=√2/2
A-π/3=asin(√2/2)=45° A=7π/12

当sin[(A-C)/2]=0时
sin(A-π/3)=0
sinA=√3cosA
tanA=√3 A=π/3 故C也为π/3

代入原方程，检验成立

综上，得A=π/3 或 A=7π/12

Answer 2

解：A,B,C成等差数列，得 B=60 A+C=120
外接圆半径为1及正弦定理，得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2
又 sinA-cosC+√2/2cos(A-C)=√2/2
联立以上三式，可解出 a，b，c及A，B，C从而可计算面积

Answer 3

因A、B、C成等差数列
故A+C=2B
又A+B+C=π
故B=π/3,A+C=2π/3

sinA-sinC+√2[cos(A-C)]/2=√2/2
移项得
sinA-sinC=√2/2*[1-cos(A-C)]
左边用和差化积,右边用2倍角公式.
2sin[(A-C)/2]cos[(A+C)/2]=√2/2*2sin^2[(A-C)/2]
而因为
B=60,所以A+C=120则cos[(A+C)/2]=1/2
所以原式化为
sin[(A-C)/2]=√2*sin^2[(A-C)/2]
移项可得
sin[(A-C)/2]*{√2*sin[(A-C)/2]-1}=0

1```当sin[(A-C)/2]=0时
则A=C=60
三角形ABC为等边三角形....
此时的三角形面积为S=2R^2sinA*sinB*sinC=(3√3)/4

2```当]√2*sin[(A-C)/2]-1=0时
既sin[(A-C)/2]=√2/2
所以
只能是(A-C)/2=45
所以A-C=90
且A+C=120
所以
A=105
C=15
此时的三角形面积为
S=2R^2sinA*sinB*sinC=√3/4