Question

已知圆C：(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 证明：无论m为何实数，直线和圆横交于两点

Answer 1

解，本题最简单做法，
思路：求出直线恒过一点，只要证明这一点在圆内，那么直线肯定与圆有两个交点。
直线L恒过点（3,1）
那么点（3,1）在圆C内，
因此，无论m为何值，直线与圆肯定有两个交点。

追问

第二问：求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程

追答

马上给你写，

追问

快啊

追答

马上给你写，
假设，直线过的定点为M(3,1)
圆的圆心C（1,2），那么当直线CM与直线L垂直时，弦长最短，
那么k(CM)=-1/2，那么，直线L的斜率为k=2
所以，直线方程为y-1=2(x-3)
也就是，y=2x-5

Answer 2

提示：只要证明圆心到直线距离<半径即可。
证：
圆心坐标(1，2)，半径r=√25=5
圆心到直线距离
d=|(2m+1)×1+(m+1)×2-7m-4|/√[(2m+1)²+(m+1)²]
=|3m+1|/√(5m²+6m+2)
d²=(3m+1)²/(5m²+6m+2)
=(9m²+6m+1)/(5m²+6m+2)
=(1/5)(45m²+30m+5)/(5m²+6m+2)
=(1/5)(45m²+54m+18-24m-13)/(5m²+6m+2)
=9/5- (24m+13)/(5m²+6m+2)
≤9/5<25
d²<r²
d<r 无论m为何实数，直线与圆恒交于两点。

追问

第二问：求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程

Answer 3

∵（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=2mx+x+my+y-7m-4
=m(2x+y-7)+（x+y-4）=0
∴（联立方程组）2x+y-7=0 x+y-4=0
(解得)x=3 y=1
∴直线L恒过点（3,1）
∵点（3,1）在圆O内
∴无论m为何实数，直线和圆恒交于两点